互动演示
与课程第 2–8 章配套的交互演示。
单自由度系统：受迫振动与共振 第2章
质量–弹簧–阻尼系统 mẍ + cẋ + kx = F0cos ωt，初始静止。 时程由 Newmark-β 法（平均加速度法）计算，包含瞬态响应；幅频曲线上的橙点对应当前频率比。
思考题
- ζ = 0.05 时，稳态振幅最大处的频率比是多少？此时相位滞后为多少？
- r ≫ 1 时，响应主要由质量、刚度还是阻尼控制？
- 取消简谐激励后施加冲击，比较 ζ = 0.02 与 ζ = 0.2 的衰减快慢，并与对数衰减率 δ ≈ 2πζ 对照。
多自由度系统：三层框架的振型 第3章
三层剪切型框架，各层质量均为 m，层间刚度均为 k。由特征值问题 (K − ω²M)φ = 0 得到三阶固有频率和振型。按单阶振型振动时，各层位移之比保持不变。
思考题
- 第 2、3 阶振型的节点位于何处？节点数与阶次有何关系？
- 三阶叠加时，如何由各层的测量信号分离出各阶模态？（第 6 章）
相关分析：含噪声信号中的周期成分 第4章
信号为正弦与白噪声之和。自相关函数 Rxx(τ) = E[x(t)x(t+τ)] 中， 白噪声只在 τ = 0 处有贡献，正弦成分的自相关为同频余弦，因此可由自相关函数或频谱识别周期成分。
思考题
- σ = 3 时，时程、自相关函数和频谱中，哪一个最容易识别出正弦成分？
- 白噪声的自相关函数是什么形式？ρ(0) 与 τ ≠ 0 处的值有何不同？
- 由维纳–辛钦定理，自相关函数与功率谱密度互为傅里叶变换。两图中的哪些特征相互对应？
采样定理与混叠 第5章
以采样频率 fs 对频率为 f 的正弦信号采样。f > fs/2（奈奎斯特频率）时， 其采样值与某一低频正弦的采样值完全相同，即发生混叠，采样后无法区分二者。
思考题
- fs = 20 Hz，f 由 1 Hz 增至 40 Hz 时，视在频率如何变化？
- 抗混叠低通滤波器为什么必须设置在采样之前？
- 视频中车轮看似反转、频闪光下风扇看似静止，分别对应哪种情况？
加窗与泄漏 第5章
DFT 隐含假设有限长记录作周期延拓。记录中不是整数个周期时，延拓后首尾不连续， 能量分散到其他谱线上（泄漏），可能掩盖邻近的弱信号。加窗使记录两端趋于零，可减小泄漏，但主瓣变宽。
思考题
- f = 10 Hz 时，矩形窗为什么没有泄漏？
- f = 10.5 Hz 时，分别用矩形窗和汉宁窗，能否分辨幅值 0.01 的弱信号？
- 测量幅值和分辨相近频率时，分别宜选用哪种窗？
实验模态分析：峰值拾取与半功率带宽法 第6章
第 3 章的三层框架，顶层激励、顶层测量，频响函数为 H33(f)，第 1 阶频率 2 Hz。 峰值拾取法将各共振峰附近近似为单自由度系统：取峰值处频率为固有频率，由幅值为峰值 1/√2 的两个频率 fa、fb 估计阻尼比 ζ ≈ (fb − fa) / (2fn)。
| 阶次 | 真实 f (Hz) | 识别 f (Hz) | 真实 ζ | 识别 ζ | ζ 误差 |
|---|
思考题
- 减小阻尼比或增大 Δf 时，识别的阻尼比偏大还是偏小？半功率带宽内至少需要几条谱线？
- 相同 Δf 下，第 1 阶为什么比第 3 阶误差大？
- 无噪声、分辨率很高时，第 3 阶阻尼比仍偏大约 20%，原因是什么？（第 3 阶振型在顶层的分量小，第 2 阶响应的影响不可忽略）
- 加入噪声后，频率和阻尼比哪一个更不稳定？两阶模态频率接近时，该方法是否适用？
卡尔曼滤波：随机振动的状态估计 第7章
单自由度系统（fn = 1 Hz，ζ = 0.02）受白噪声力激励，以 50 Hz 测量位移，测量含噪声。 卡尔曼增益由预测协方差与测量噪声协方差 R 确定：Q 相对 R 越大，增益越大，估计越接近测量值。 速度未测量，由状态方程估计。
思考题
- Q 很小时，卡尔曼增益趋于多少？估计值为什么逐渐偏离真值？
- Q 很大时，位移估计接近测量值，速度估计误差为什么增大？
- 存在模型误差时，Q 应如何选取？
- 速度未被测量，其估计值依据什么得到？
模型修正：层间刚度识别 第8章
三层框架某一层的层间刚度降低，实测三阶频率（橙色）与设计模型（蓝色）不一致。 各层刚度系数以设计值为 1，调整后使模型频率与实测频率一致。“灵敏度法迭代”执行一次高斯–牛顿迭代， 其中 ∂λj/∂ki = k0(φj,i − φj,i−1)²（振型按质量归一化）。
思考题
- 只调整一层刚度，能否使三阶频率同时一致？
- 某层刚度降低时，哪一阶频率下降最多？与该阶振型在该层的层间位移有何关系？
- 只有前两阶频率时，能否唯一确定三个刚度系数？实测频率含误差时结果如何？